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Autore Messaggio
MessaggioInviato: giovedì 20 luglio 2006, 9:38 
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Iscritto il: martedì 3 febbraio 2004, 2:21
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Ecco a voi un quesito matematico che mi sta togliendo il sonno! :crazyeyes: :what: :wall:

Ho un cerchio di raggio R. Voglio conoscere la distanza media di tutti i punti del cerchio (sto parlando quindi della superficie!) dal centro.

Soluzione:
Mi faccio il mio bell'integrale in coordinate polari:
§ § r dr da

con r =[0, R]
e a = [0, 2pi]

il tutto bisogna dividerlo per
§ § dr da
con gli stessi estremi di integrazione.

Alla fine viene fuori che la distanza media è R/2.
Risultato banale? :schock:

Procedimento alternativo (a cui avevo pensato in un primo momento perchè non avevo voglia di calcolare l'integrale). :idea:
La distanza media è quel raggio che ripartisce il cerchio in due superfici di uguale area. *
Le due superfici sono: un cerchio (più piccolo) e una corona circolare esterna.
In ciascuna delle due superfici (che hanno S = pi * R * R /2) cade il 50% dei punti del cerchio originario.
Il raggio del cerchio più piccolo è R * radq(2)/2.

(* affermazione da verificare ) :specchi:

Cosa c'è di sbagliato nel secondo procedimento? :roll:
Per caso ho calcolato il valore mediano della distanza invece del valore medio? Perchè le due cose non coincidono?
Ho fatto qualche orrore macroscopico? :azz:

aiutatemi a riprendere sonno! :sleeping:
TI


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MessaggioInviato: giovedì 20 luglio 2006, 12:11 
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ok, ma con riferimento al problema di partenza ("trovare la distanza media di tutti i punti del cerchio dal centro"), la soluzione è giusta o sbagliata? :roll:


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MessaggioInviato: giovedì 20 luglio 2006, 12:18 
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Quella giusta dovrebbe essere la risoluzione mediante l'utilizzo dell'integrale... anche perchè se pensi che l'area del cerchio sia composta da un numero infinito di raggi, su ognuno di questi il suo punto medio è esattamente R/2... almeno credo...


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MessaggioInviato: giovedì 20 luglio 2006, 14:10 
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Iscritto il: martedì 3 febbraio 2004, 2:21
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afazio ha scritto:
Pero' poi ci ripenso e ti chiedo: ma il punto medio di un cerchio non e' il suo centro?
Oppure forse cerchi qualche altro punto avente altra caratteristica che confondi come medio?
Cosa cerchi tra i cerchi?


afazio, ho qualche difficoltà a seguirti eheheh :silly:

ad ogni modo io non cerco il punto medio del cerchio.
cerco la distanza media dal centro di tutti i punti del cerchio.
ho capito il discorso degli infiniti raggi... per ogni raggio la distanza media è R/2 etc
ma il mio dubbio è: alla periferia del cerchio ci sono più punti che verso il centro? :?: :?: questi punti periferici, aventi distanza maggiore dal centro, "pesano" di più nella distanza media? :?: :?:


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MessaggioInviato: giovedì 20 luglio 2006, 15:53 
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MessaggioInviato: giovedì 20 luglio 2006, 21:36 
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Località: perugia
afazio ha scritto:
quant'e' la dimensione d'un punto?
Quanti punti stanno in un cmq e quanti in un metro quadrato?


ehehehe....


in 1cmq c'è un solo punto grande 1cmq
in 1mq c'è un solo punto grande 1mq

:D :D :D


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MessaggioInviato: giovedì 20 luglio 2006, 23:29 
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Iscritto il: mercoledì 19 luglio 2006, 17:32
Messaggi: 203
afazio ha scritto:
traffic_insider ha scritto:
...cerco la distanza media dal centro di tutti i punti del cerchio.
ho capito il discorso degli infiniti raggi... per ogni raggio la distanza media è R/2 etc
ma il mio dubbio è: alla periferia del cerchio ci sono più punti che verso il centro? :?: :?: questi punti periferici, aventi distanza maggiore dal centro, "pesano" di più nella distanza media? :?: :?:


quant'e' la dimensione d'un punto?
Quanti punti stanno in un cmq e quanti in un metro quadrato?


ehehehe....


Questa cosa entra i gioco quando devi per esempio calcoalre il momento statico... in questo quiesito non ah alcuna influenza... afazio ha fatto uan giusta considerazione... qual è la dimensione di un punto... devi per forza ragioanre in termini di infinitesimi, e quindi lavorare con gli integrali...


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MessaggioInviato: giovedì 20 luglio 2006, 23:37 
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Iscritto il: martedì 3 febbraio 2004, 2:21
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ok, ma quale integrale? :scratch:

§ § r dr da

oppure

§ § r^2 dr da

:?: :?:

ciao
TI


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MessaggioInviato: venerdì 21 luglio 2006, 10:42 
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Località: Brescia
tornando al quesito iniziale credo che il secondo ragionamento sia sbagliato! infatti é una media aritmetica dell'area mentre il primo metodo di calcolo, quello con l'integrale, é una media pesata. Tant'é che il primo metodo é supportato anche da una verifica pratica di ragionamento spicciolo, come riportato all'inizio da afazio.


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MessaggioInviato: venerdì 21 luglio 2006, 11:40 
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Iscritto il: giovedì 17 febbraio 2005, 10:14
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Località: rimini
afazio ha scritto:
Ragionando alla spicciola.. potresti pensare il cerchio come formato da infiniti raggi. Ciascuno di questi raggi li puoi pensare come infinite coppie di punti equidistanti da uno stesso punto che sarebbe uno dei punti del luogo dei punti medi.


questo tipo di ragionamento spannometrico non è applicabile, purtroppo. Controesempio: un faro al centro di una sfera proietta un fascio di luce conica di angolo solido 45°, qual è la percentuale di sfera illuminata? Se si guarda in sezione, qualunque sia la sezione, è 45/360= 12,5%, ma se fate l'integrale sferico, vi accorgete che il risultato è ben diverso (anche a occhio, basta un disegno)!

"a naso" mi verrebbe da dire che ci si avvicina di più il secondo rispetto al primo (è evidente che l'area con R>R/2 è >> di quella con R<R/2), però adesso non ho la lucidità di mettermi a scrivere gli integrali nel modo giusto...

_________________
"Sul lungo periodo... siamo tutti morti" (John M. Keynes)

Ing. Paolo Bianco


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