IngForum il forum di Ingegneri.info
Oggi è martedì 19 novembre 2019, 16:58

Tutti gli orari sono UTC + 1 ora [ ora legale ]




Apri un nuovo argomento Rispondi all’argomento  [ 9 messaggi ] 
Autore Messaggio
 Oggetto del messaggio: Quesito probabilistico
MessaggioInviato: lunedì 30 luglio 2018, 18:00 
Non connesso
Avatar utente

Iscritto il: mercoledì 24 ottobre 2007, 14:39
Messaggi: 19258
Località: Ferrara
Questo è un quesito inventato da me, se qualcuno ha voglia di arrovellarsi il cervello in queste calde giornate estive.....

In un bosco ben delimitato ci sono N funghi. Arriva un gruppo composto da M persone, ciascuna delle quali inizia a cercare funghi per conto proprio.

Domande:
1-Quando tutti i funghi del bosco sono stati raccolti, qual'è la probabilità che una persona sia riuscita a raccogliere almeno un fungo?
2- Qual'è il numero minimo N di funghi che dovrebbe essere presente nel bosco per fare in modo che tutti gli M cercatori abbia una determinata sicurezza (diciamo il 99%) di riuscire a raccogliere almeno 1 fungo?

Si chiede di risolvere i quesiti ottendo soluzioni valide per qualsiasi valore di M ed N (con N>M ovviamente....)
8)

_________________
L'evoluzione c'entra. Sempre.


Top
 Profilo  
Rispondi citando  
 Oggetto del messaggio: Re: Quesito probabilistico
MessaggioInviato: lunedì 30 luglio 2018, 18:53 
Non connesso
Avatar utente

Iscritto il: mercoledì 9 luglio 2003, 11:52
Messaggi: 38198
1)
ognuno dei cercatori M ha la probabilità di raccogliere N/M funghi,
ma essendo N>M ha quindi la probabilità di raccogliere più di 1 fungo;
la probabilità di raccoglierne 1 solo è proprio N/M espresso in percentuale

ad es. Nfunghi = 200 , Mraccoglitori = 100
ogni M ha quindi la probabilità di raccogliere 200/100=2 funghi cioè il 2% di probabilità di prenderne uno

(non so se ho fatto un ragionamento corretto :scratch: )

_________________
"l'ingegnere sa quello che fa, e fa quello che sa" (Michele Pagano)


Top
 Profilo  
Rispondi citando  
 Oggetto del messaggio: Re: Quesito probabilistico
MessaggioInviato: martedì 31 luglio 2018, 9:41 
Non connesso
Avatar utente

Iscritto il: mercoledì 24 ottobre 2007, 14:39
Messaggi: 19258
Località: Ferrara
pasquale ha scritto:
1)
ognuno dei cercatori M ha la probabilità di raccogliere N/M funghi,
ma essendo N>M ha quindi la probabilità di raccogliere più di 1 fungo;
la probabilità di raccoglierne 1 solo è proprio N/M espresso in percentuale

ad es. Nfunghi = 200 , Mraccoglitori = 100
ogni M ha quindi la probabilità di raccogliere 200/100=2 funghi cioè il 2% di probabilità di prenderne uno

(non so se ho fatto un ragionamento corretto :scratch: )

No, il ragionamento non è corretto, perchè non si chiede la probabilità di raccogliere 1 fungo, ma la probabilità di raccogliere "almeno" un fungo, per tanto avrai la probabilità di raccoglierne 1, unita alla probabilità di racoglierne 2, unita alla probabilità di raccoglierne 3... unita alla probabilità di raccoglierne N.
Ovvero, sarebbe più semplice calcolare la probabilità di raccogliere 0 funghi, e quindi la pribabilità cercata è (1-quella).
Chiaramente, più è alto il numero di funghi rispetto al numero di persone, più la probabilità cercata è alta, ma non raggiungerà mai 1 perchè ci sarà sempre una remota possibilità di non trovare nemmeno un fungo....

E questo è solo l'inizio del problema, in realtà è la seconda parte a essere più difficile... :lol:

_________________
L'evoluzione c'entra. Sempre.


Top
 Profilo  
Rispondi citando  
 Oggetto del messaggio: Re: Quesito probabilistico
MessaggioInviato: martedì 31 luglio 2018, 10:05 
Non connesso
Avatar utente

Iscritto il: sabato 17 marzo 2007, 22:43
Messaggi: 3312
Località: brescia
boba, sei sicuro che si possa ragionare senza fare ipotesi sulla distribuzione dei funghi e sulla distribuzione dei cercatori?
Inoltre, si considera che il processo di 'raccolta' sia istantaneo o il fatto che un cercatore individui un fungo da modo agli altri di avvantaggiarsi (nel tempo che impiega a raccoglierlo)?

Perchè se supponiamo che l'individuazione/raccolta sia istantanea, che i funghi e i cercatori siano uniformemente distribuiti, hai la sicurezza che ciascuno ne raccoglie N/M, il che non è la risposta che ti interessa (anche perchè N/M sarà un numero razionale di funghi interi :) )

_________________
Art.1 : L'Italia è una Repubblica fondata sul Lavoro. ..degli altri.


Top
 Profilo  
Rispondi citando  
 Oggetto del messaggio: Re: Quesito probabilistico
MessaggioInviato: martedì 31 luglio 2018, 11:34 
Non connesso
Avatar utente

Iscritto il: mercoledì 24 ottobre 2007, 14:39
Messaggi: 19258
Località: Ferrara
Non avendo specificato nulla, si può assumere che:
i funghi sono distribuiti in modo casuale in tutta l'area la quale è ben delimitata (nessuno può uscire o sbagliare strada e cercare inutilmente dove non vi sono funghi), non vi sono ostacoli tali per cui alcuni funghi siano più facili da trovare di altri.
I cercatori hanno la stessa "abilità" nel trovare funghi e sono disposti anche loro in modo casuale e si muovono uno indipendentemente dall'altro.
La raccolta può essere considerata istantanea (appena uno vede un fungo lo raccoglie senza perdere tempo).
Detto questo, non può esserci alcuna "sicurezza" che ciascuno raccolga N/M funghi (anzi, questa è solo una delle tante possibilità, per altro avente una probabilità abbastanza bassa di verificarsi, sarebbe un caso molto fortunato che tutti trovino all'incirca lo stesso numero di funghi.... :lol: ), è abbastanza probabile che qualcuno trovi più funghi rispetto ad altri, e vi potrebbe anche essere una seppur piccola probabilità che qualcuno rimanga a mani vuote.
N/M è semmai la "media" di funghi raccolta, ma si cerca la probabilità di trovare almeno un fungo, probabilità che possiamo aspettarci che tenderà a 1 al crescere di N, senza però mai arrivare a 1.

Piccolo aiutino: si fa prima a chiedersi, dati N e M qual'è la probabilità di non trovare neppure un fungo, e da li per differenza rispetto a 1 si ottiene la risposta. 8)

_________________
L'evoluzione c'entra. Sempre.


Top
 Profilo  
Rispondi citando  
 Oggetto del messaggio: Re: Quesito probabilistico
MessaggioInviato: martedì 31 luglio 2018, 23:56 
Non connesso
Avatar utente

Iscritto il: mercoledì 9 luglio 2003, 11:52
Messaggi: 38198
avevo pensato di partire dal rapporto N/M che è la media, cioè il numero di funghi che ogni cercatore ha la più alta probabilità di trovare;

per passare al secondo problema pensavo quindi di assimilare questa ricerca (e accaparramento, perché altra ipotesi necessaria è che i cercatori non siano rissosi :lol: ) ad una certa distribuzione di probabilità e da questa stabilire il numero di funghi necessario per accontentare tutti con un certo livello di fiducia (quello che boba dice del 95% o del 99 ecc.);

non so se sbaglio ma al valore medio (i 2 funghi ciascuno dell'esempio che avevo fatto) credo si associ un livello di fiducia del 50%:
se questa raccolta viene ripetuta molte volte, nel 50% dei casi ognuno si porta a casa i suoi due funghi, nell'altro 50% o se ne porta 1 (credo non si arrivi a risse con divisione in pezzi del fungo :lol: ) oppure se ne torna a vuoto

_________________
"l'ingegnere sa quello che fa, e fa quello che sa" (Michele Pagano)


Top
 Profilo  
Rispondi citando  
 Oggetto del messaggio: Re: Quesito probabilistico
MessaggioInviato: mercoledì 1 agosto 2018, 13:12 
Non connesso
Avatar utente

Iscritto il: mercoledì 24 ottobre 2007, 14:39
Messaggi: 19258
Località: Ferrara
Allora, adesso vi "svelo" la prima parte (la seconda non ci sono ancora arrivato, quindi non la so neppure io.... :badboy: ).
Siccome ci sono M raccoglitori, si ha che per ciascun fungo ogni raccoglitore ha una probabilità pari a 1/M di raccoglierlo, ossia, ragionando al contrario, la probabilità che il fungo venga raccolto dagli altri M-1 raccoglitori diventa pari a (M-1)/M
Siccome i funghi sono N, e ogni fungo è indipendente dall'altro (cioè una persona può trovarlo indipendentemente che ne abbia già trovato uno o meno), trattandosi di N eventi indipendenti la probabilità di non trovare neppure un fungo degli N totali è pari al prodotto delle probabilità, quindi sarà (M-1)/M x (M-1)/M x .... x (M-1)/M, cioè [(M-1)/M]^N, e quindi la probabilità di trovare "almeno" un fungo su N funghi totali è il complemento a 1 della probabilità di non trovarne neppure uno, quindi la soluzione è:

P = 1 - [(M-1)/M]^N

Esempio: se ci sono 2 raccoglitori e 3 funghi ciascuno ha la probabilità di trovare almeno un fungo pari a 1-(1/2)^3= 7/8 = 0,875;
(Tale numero lo si ricava anche facendo il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili, considerando che sono possibili 2^3=8 esiti diversi della ricerca (numero di casi possibili) e che per ciascun ricercatore il numero di casi favorevoli lo si può contare facilmente: (nominiamo i 3 funghi con A-B-C, un raccoglitore potrebbe trovare un solo fungo (A,oppure B, oppure C,), due funghi (AB, AC, BC), o tutti e tre i funghi (ABC), totale 7 casi favorevoli su 8 totali.

Se i funghi sono 4 la probabilità sarà 15/16 = 0,937;
Se i funghi sono 10 la probabilità è 0,999 ecc...
Si nota che con un numero di funghi pari a 4-5 volte il numero di persone, la probabilità di trovare almeno un fungo cresce fino a valori molto prossimi a 1, quindi apparentemente questo sembra rispondere anche alla seconda parte del quesito.... (basterebbe porre P pari a 0,95 o 0,99 o 0,999 e trovare N)

Tuttavia, il quesito è di trovare il numero minimo di funghi tale per cui TUTTI trovino almeno 1 fungo, e non è la stessa cosa, perchè significa che questa eventualità debba essere vera per tutti gli M partecipanti contemporaneamente.....
A riprova di ciò, se ci fossero ad esempio meno funghi che persone (N<M), un singolo ricercatore avrebbe sempre una probabilità positiva di trovare almeno un fungo, ma sarebbe impossibile che TUTTI ne trovino almeno uno, in quanto non ce ne sono abbastanza.
:lol:

_________________
L'evoluzione c'entra. Sempre.


Top
 Profilo  
Rispondi citando  
 Oggetto del messaggio: Re: Quesito probabilistico
MessaggioInviato: lunedì 27 agosto 2018, 16:57 
Non connesso
Avatar utente

Iscritto il: mercoledì 24 ottobre 2007, 14:39
Messaggi: 19258
Località: Ferrara
Ovviamente, mi sono arreso e ho chiesto aiuto a un forum di matematici.....

Ecco la soluzione:

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 5#p8366865

Ho provato a fare un foglio excel, la cosa interessante è che per valori di M abbastanza grandi, e considerando un grado di sicurezza del 99%, servono almeno 7 funghi a testa per essere abbastanza sicuri (99%) che tutti ne trovino almeno uno, (cifra che tende a stabilizzarsi verso un valore costante anche aumentando M).
(Se ci fermiamo al 90% sono sufficienti circa 4-5 funghi pro-capite, oppure anche 8-10 se ci spingiamo al 99,9%)

Pensavo ad alcune applicazioni pratiche che potrebbero ricadere in questo tipo di problema, ad esempio:

1-Se ho un allevamento di pesci in un laghetto molto grande, in cui non so dove stanno i pesci, e quindi se metto tutto il cibo in un punto non sono sicuro che tutti i pesci possano accedere al cibo in modo "equo", per tanto potrebbe valere la pena gettare a caso bocconi di cibo su tutta la superficie in modo che ciascun pesce trovi il cibo per conto proprio: sapendo che vi sono M pesci, quanti bocconi devo buttare per essere sicuro che tutti i pesci possano mangiare almeno un boccone, dal momento che magari un singolo pesce potrebbe accaparrarsi anche più bocconi a discapito degli altri.... la risposta è: almeno 7 volte il cibo strettamente necessario rispetto al caso in cui dia da mangiare personalmente a ciascun singolo pesce.

2-Oppure, classico carro di carnevale da cui i personaggi lanciano caramelle alla folla di bambini: se ci sono M bambini e lancio caramelle a caso, quante dovrei lanciarne come minimo per fare in modo che tutti i bambini riescano a prendere almeno una caramella? (Conosco bene la situazione per averla vissuta: non è raro vedere il bambino con il sacchetto pieno e l'altro senza neppure una caramella.... :lol: ). Ebbene, dovrei lanciare a caso almeno 7 caramelle per bambino: dato utile per gli organizzatori, per capire quante caramelle comprare.

3-Oppure, estendendo il concetto all'intero globo abitato, in una società primitiva di cacciatori/raccoglitori, per poter sfamare tutti sarebbe occorsa una quantità di risorse pari ad almeno 7 volte quella strettamente necessaria. Proviamo a pensare alla situazione di oggi: forse non è paragonabile visto che basata su agricoltura e allevamento, quindi pianificata almeno a certi livelli, ma così, tanto per scherzare: forse per sconfiggere definitivamente la fame nel mondo occorrerebbe una quantità di cibo sufficiente per sfamare 7x7= 49 miliardi di persone (oppure si dovrebbe ridurre a l'attuale popolazione mondiale a circa 1 miliardo di persone).... :roll:

_________________
L'evoluzione c'entra. Sempre.


Top
 Profilo  
Rispondi citando  
 Oggetto del messaggio: Re: Quesito probabilistico
MessaggioInviato: lunedì 27 agosto 2018, 17:17 
Non connesso
Avatar utente

Iscritto il: mercoledì 9 luglio 2003, 11:52
Messaggi: 38198
con quel 7 mi fai ricordare un articolo:
Pasquale Malangone, Michele Contaldo, Un contributo in tema di controllo di qualità e criteri di accettazione del calcestruzzo,
Industria Italiana del Cemento, 1987,
dove appunto si conclude che con 7 prelievi (invece dei 3 attuali) si avrebbe un controllo di accettazione accettabile in modo da non favorire i cls con sqm elevato e non penalizzare quelli invece omogenei

_________________
"l'ingegnere sa quello che fa, e fa quello che sa" (Michele Pagano)


Top
 Profilo  
Rispondi citando  
Visualizza ultimi messaggi:  Ordina per  
Apri un nuovo argomento Rispondi all’argomento  [ 9 messaggi ] 

Tutti gli orari sono UTC + 1 ora [ ora legale ]


Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite


Non puoi aprire nuovi argomenti
Non puoi rispondere negli argomenti
Non puoi modificare i tuoi messaggi
Non puoi cancellare i tuoi messaggi

Cerca per:
Vai a:  

Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group
Traduzione Italiana phpBBItalia.net basata su phpBB.it 2010